Question

下列给出的四个命题中：
①已知数列{a_n}，那么对任意的n∈N^*，点P_n（n，a_n）都在直线y=2x+1上是{a_n}为等差数列的充分不必要条件；
②“m=-2”是“直线（m+2）x+my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”的必要不充分条件；
③设圆x²+y²+Dx+Ey+F=0与坐标轴有4个交点，分别为A（x₁，0），B（x₂，0），C（0，y₁），D（0，y₂），则x₁x₂-y₁y₂=0；
④在实数数列{a_n}中，已知a₁=0，|a₂|=|a₁-1|，|a₃|=|a₂-1|，…，|a_n|=|a_n-1-1|，则a₁+a₂+a₃+a₄的最大值为2．
其中为真命题的是

 

（写出所有真命题的代号）．

Answer 1

分析：①由点P_n（n，a_n）都在直线y=2x+1上得到a_n=2n+1，由通项公式知是充分，但反之等差数列很多，是不必要的．
②若“直线（m+2）x+my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”则有：（m+2）（m-2）+（m+2）m=0整理得（m+2）（2m-1）=0有两个根．③令x=0，x²+y²+Dx+Ey+F=0化为：y²+Ey+F=0由韦达定理得y₁y₂=F；令y=0，x²+y²+Dx+Ey+F=0化为：x²+Dx+F=0由韦达定理得x₁x₂=F，从而有x₁x₂-y₁y₂=0；
④由“a₁=0，|a₂|=|a₁-1|，|a₃|=|a₂-1|，…，|a_n|=|a_n-1-1|，”得数列是：0，1，0，1，0，1，…0，1…从而得到结论．

解答：解：∵点P_n（n，a_n）都在直线y=2x+1上
∴a_n=2n+1
∴{a_n}是以3为首项，以2为公差的等差数列
所以是充分的
若{a_n}为等差数列，则公差不一定为2，首项也不一定为3
所以是不必要的
故①正确．
②若“直线（m+2）x+my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”
则有：（m+2）（m-2）+（m+2）m=0
∴（m+2）（2m-1）=0
∴m=-2或m=

1

2

故②不正确．
令x=0，x²+y²+Dx+Ey+F=0化为：y²+Ey+F=0
由韦达定理
y₁y₂=F
令y=0，x²+y²+Dx+Ey+F=0化为：x²+Dx++F=0
由韦达定理
x₁x₂=F
∴x₁x₂-y₁y₂=0；
故③正确
由“a₁=0，|a₂|=|a₁-1|，|a₃|=|a₂-1|，…，|a_n|=|a_n-1-1|，”
可推知数列是：0，1，0，1，0，1，…0，1…
∴a₁+a₂+a₃+a₄的最大值为2．
故④正确．
故答案为：①③④

点评：本题主要考查数列与函数，方程及逻辑用语的综合运用，主要涉及了等差数列的定义及通项公式，圆的方程及韦达定理和数列规律的探究．