Question

已知

OA

=

a

，

OB

=

b

，

OC

=

c

，

OD

=

d

，

OE

=

e

，且向量

a

与向量

b

为不共线的两个向量，设

c

=3

a

，

d

=2

b

，

e

=t（

a

+

b

），t为实数．
（1）用向量

a

，

b

或实数t来表示向量

CD

，

CE

；
（2）实数t为何值时，C，D，E三点在一条直线上？

Answer 1

分析：（1）由

CD

=

d

-

c

，

CE

=

e

-

c

得到用向量

a

，

b

或实数t来表示向量

CD

，

CE

；
（2）欲使三点共线，可先由两向量共线得到关于t的等式，解出即可．

解答：解：（1）由题设知，

CD

=

d

-

c

=2

b

-3

a

，

CE

=

e

-

c

=t

b

+(t-3)

a

       
（2）C，D，E三点在一条直线上的等价于存在实数k，使得

CE

=k

CD

，即t

b

+(t-3)

a

=k(2

b

-3

a

)，
整理得(t-3+3k)

a

=(2k-t)

b

．
由

a

，

b

不共线，有

t-3+3k=0 t-2k=0

，解之得，t=

6

5

．
综上当C，D，E三点在一条直线上时有t=

6

5

．

点评：（1）由三点共线的条件设出参数，并利用待定系数法确定参数，利用算两次的数学思想，根据平面向量基本定理，使问题得以解决．
（2）利用向量共线定理时容易证明几何中的三点共线和两直线平行的问题，必须注意两个有公共点的向量，其三点共线．