Question

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，a₄＝a₁－9，a₅，a₃，a₄成等差数列．
(1)求数列{a_n} 的通项公式；
(2)证明：对任意k∈N^*，S_k＋2，S_k，S_k＋1成等差数列．

Answer 1

（1）a_n＝(－2)^n－1n∈N^*（2）见解析

(1)解:在等比数列{a_n}中，a₅，a₃，a₄成等差数列，
∴2a₃＝a₅＋a₄，
即2a₁q²＝a₁q⁴＋a₁q³，整理得：q²＋q－2＝0.
解得q＝1，或q＝－2.
又a₄＝a₁－9，即a₁q³＝a₁－9，
当q＝1时，无解．
当q＝－2时，解得a₁＝1
∴等比数列{a_n}通项公式为a_n＝(－2)^n－1n∈N^*
(2)证明:∵S_n为等比数列{a_n}的前n项和，
∴S_k＝＝，S_k＋1＝，S_k＋2＝，
∵S_k＋1＋S_k＋2＝＋＝＝＝＝2·＝2S_k.
∴S_k＋1，S_k，S_k＋2成等差数列．