Question

设{a_n}，{b_n}都是各项为正数的数列，对任意的正整数n，都有a_n，b_n²，a_n+1成等差数列，b_n²，a_n+1，b_n+1²成等比数列．
（1）证明数列{b_n}是等差数列；
（2）如果a₁=1，b₁=2，记数列{

1

an

}的前n项和为S_n，问是否存在常数λ，使得b_n＞λS_n对任意n∈N^*都成立？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用已知条件可得数列{b_n}与{a_n}的递推关系

an+1=bn•bn+1 an=bn-1•bn

代入2b_n²=a_n+a_n+1整理，然后利用等差中项的证明数列{b_n}为等差数列
（2）由a₁=1，b₁=2及①得a₂=7，再由②得b₂=

7

2

从而有a₂=7，b₂=

7

2

从而可得等差数列{b_n}的首项b₁=2，公差d=b₂-b₁=

3

2

，∴b_n=

3n+1

2

，又a_n=b_n-1b_n可得数列{a_n}通项公式；假设存在常数λ，使得b_n＞λS_n对任意n∈N^*都成立，则有

3n+1

2

＞λ•

4n

3n+1

（n∈N^*），∴λ＜

1

8

(9n+

1

n

+6)，利用研究9n+

1

n

，问题得解．

解答：解：由题意，2b_n²=a_n+a_n-1①，a_n+1²=b_n²b_n+1²②
（1）∵a_n＞0，b_n＞0，∴由②得a_n+1=b_nb_n+1，从而当n≥2时，a_n=b_n-1b_n，代入①式得2b_n²=b_n-1b_n+b_nb_n+1，即2b_n=b_n-1+b_n+1（n≥2），∴数列{b_n}是等差数列；
（2）a₁=1，b₁=2及①得a₂=7，再由②得b₂=

7

2

，∴等差数列{b_n}的首项b₁=2，公差d=b₂-b₁=

3

2

，∴bn=

3n+1

2

，
当n≥2时，a_n=b_n-1b_n=

(3n-2)(3n+1)

4

，当n=1时，a₁=1也成立
∴数列{a_n}通项公式为a_n=

(3n-2)(3n+1)

4

，

1

an

=

4

3

(

1

3n-2

-

1

3n+1

)
∴数列{

1

an

}的前n项和Sn=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=

4

3

(1-

1

3n+1

)=

4n

3n+1

假设存在常数λ，使得b_n＞λS_n对任意n∈N^*都成立，则有

3n+1

2

＞λ•

4n

3n+1

（n∈N^*），∴λ＜

1

8

(9n+

1

n

+6)
∵9n+

1

n

≥ 2

9n• 1 n

=6，当且仅当9n=

1

n

即n=

1

3

时等号成立，∴当n=1时，9n+

1

n

的最小值为10，，
故存在常数λ＜2，使得b_n＞λS_n对任意n∈N^*都成立

点评：（1）等差数列的证明常用的方法（i）定义法：a_n-a_n-1=d；（ii）等差中项法：2a_n=a_n-1+a_n+1
（2）裂项求和是数列求和中的重要方法，要注意其适用的结构特点
（3）恒成立问题，利用分离参数法，结合求最值求解．