Question

7．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=4，cosA=$\frac{3}{4}$，sinB=$\frac{5\sqrt{7}}{16}$，c＞4．
（1）求b；
（2）求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）由已知及同角三角函数基本关系式可求sinA的值，进而由正弦定理可得b的值．
（2）由已知及余弦定理可得c的值，即可得解△ABC的周长．

解答 解：（1）∵a=4，cosA=$\frac{3}{4}$，sinB=$\frac{5\sqrt{7}}{16}$，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∴由正弦定理可得：b=$\frac{asinB}{sinA}$=$\frac{4×\frac{5\sqrt{7}}{16}}{\frac{\sqrt{7}}{4}}$=5．
（2）∵由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，可得：16=25+c²-2×$5×c×\frac{3}{4}$，
整理可得：2c²-15c+18=0，解得：c=6或$\frac{3}{2}$（由C＞4，舍去），
∴△ABC的周长=a+b+c=4+5+6=15．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．