Question

19．证明．对于任意两个向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$都有||$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$||≤|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|≤|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|．

Answer 1

分析 分向量共线与不共线的情况，利用向量加法、减法的三角形法则做出图形，结合三角形的边的关系：“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行证明．

解答 证明：分三种情况考虑．
（1）当向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$共线且方向相同时，|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$|＜|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|．
（2）当向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$共线且方向相反时，$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{a}$-（-$\overrightarrow{b}$），
利用（1）的结论有||$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$||＜|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|＜|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|．
（3）当向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$不共线时，设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，作$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{c}$，
$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$．
利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得||$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$||≤|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|≤|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|．
综上，结论得证．

点评 本题主要考查了平面向量的共线与不共线时两向量和（或差）的模与向量模的和（或差）的大小关系，解决问题的关键是要熟练运用向量的加法及减法的三角形法则（平行四边形法则）．分类讨论的数学思想要注意掌握．