Question

【题目】(2015·四川）已知函数f(x）=-2(x+a)lnx+x2-2ax-2a2+a，其中a>0.
（1）设g(x)是f(x）的导函数，讨论g(x)的单调性；
（2）证明：存在a(0,1)，使得f(x）≥0,在区间（1，+）内恒成立，且f(x）=0在（1，+）内有唯一解.

Answer 1

【答案】
（1）

当0<a<时，g(x)在区间(0, ), (,+)上单调递增， 在区间(, )上单调递减；当a≥时，在区间（0，+）上单调递增.

（2）

详见解析.

【解析】(1)由已知， 函数f(x)的定义域为（0，+）， g(x)=f'(x)=2x-2a-2lnx-2(1+), 所以 g'(x)=2-+=, 当0<a<时，g(x)在区间(0, ), (,+)上单调递增， 在区间(, )上单调递减；当a≥时，在区间（0，+）上单调递增. (2)由f'(x)=2x-2a-2lnx-2(1+)=0, 解得a=, 令（x)=-2(x+)lnx+x2-2()x-2()2+, 则（1)=1>0, （e)=--2<0, 故存在x0(1,e)， 使得（x0)=0， 令a0=, u(x)=x-1-lnx(x≥1), 由u'(x)=1-≥0知， 函数u(x)在区间（1， +）上单调递增。所以0=, 即a(0,1), 当a=a0时， 有f'(x0)=0, f(x0)= （x0)=0, 由（1）知， 函数f'(x)在区间（1，+）上单调递增.， 故当x(1,x0)时， 有f'(x0)<0, 从而f(x)> f(x0)=0, 当x(x0, +)时， 有f'(x0)>0, 从而f(x)> f(x0)=0, 所以， 当x（1，+）时， f(x)≥0。 综上所述，存在a(0,1)，使得f(x）≥0,在区间（1，+）内恒成立，且f(x）=0在（1，+）内有唯一解.
本题考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与 整合，化归与转化等数学思想.本题作为压轴题，难度系数应在0.3以下.导数与微积分作为大学重要内容，在中学要求学生掌握其基础知识，在高考题中也必有 体现.一般地，只要掌握了课本知识，是完全可以解决第（1）题的，所以对难度最大的最后一个题，任何人都不能完全放弃，这里还有不少的分是志在必得的.解 决函数题需要的一个重要数学思想是数形结合，联系图形大胆猜想. 在本题中，结合待证结论，可以想象出f(x）的大致图象，要使得f(x）≥0在区间（1，+）内恒成立，且f(x）=0在（1，+）内有唯一解，则这个解x0应为极小值点，且极小值为0，当x(1,x0)时，f(x）的图象递减； 当x（1，+）时，f(x）的图象单调递增，顺着这个思想，便可找到解决方法.