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设数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=2-an,(n=1,2,3,…)
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若数列{bn}满足b1=1,且bn+1=bn+an,求数列{bn}的通项公式;
(Ⅲ)cn=数学公式,求cn的前n项和Tn

解:(Ⅰ)由Sn=2-an
当n=1时,S1=2-a1,∴a1=1.
取n=n+1得:Sn+1=2-an+1
②-①得:Sn+1-Sn=an-an+1
即an+1=an-an+1,故有2an+1=an(n=1,2,3,…),
∵a1=1≠0,∴an≠0,∴(n∈N*).
所以,数列{an}为首项a1=1,公比为的等比数列.
则an=(n∈N*).
(Ⅱ)∵bn+1=bn+an,∴





将以上n-1个等式累加得:

=
=
=
(Ⅲ)由
Tn=c1+c2+c3+…+cn
得:

③-④得:
=
=

分析:(Ⅰ)在题目给出的递推式中取n=1求出a1,取n=n+1得到第二个递推式,两式作差后整理即可说明给出的数列是等比数列,则通项公式可求;
(Ⅱ)把(Ⅰ)中求出的an代入递推式bn+1=bn+an,然后利用累加法可求数列{bn}的通项公式;
(Ⅲ)把(Ⅱ)中求出的bn代入cn=,整理后利用错位相减法求cn的前n项和Tn
点评:本题考查了由递推式求数列的通项公式,考查了累加法,训练了错位相减法求数列的前n项和,涉及一个等差数列和一个等比数列的积数列,错位相减是求其前n项和重要的方法.此题是中档题.
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3
2
Sn=2an+1-3

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(2)求数列an的通项公式;
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3
2
an+1)•an
,求数列bn的前n项的和Tn

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3
2
×(-1)n-
1
2
,n∈N*
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(Ⅲ)证明:
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
10
9
,n∈N*

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不等式组
x≥0
y≥0
nx+y≤4n
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Sn
5•2n
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(2013•郑州一模)设数列{an}的前n项和Sn=2n-1,则
S4
a3
的值为(  )

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