Question

【题目】如图，四棱锥S﹣ABCD中，SD＝CD＝SC＝2AB＝2BC，平面ABCD⊥底面SDC，AB∥CD，∠ABC＝90°，E是SD中点．

（1）证明：直线AE//平面SBC；

（2）点F为线段AS的中点，求二面角F﹣CD﹣S的大小．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）30°．

【解析】

（1）取SC中点G，连接BG，EG，推导出四边形AEGB为平行四边形，从而AE∥BG，进而AE∥平面SBC；

（2）取CD中点O，连接OS，OA ，推导出四边形ABCD为矩形，AO⊥CO，AO⊥CD，以O为原点，OS所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣CD﹣S的大小．

（1）证：如图，取SC中点G，连接BG，EG，

∵EG为△SDC的中位线，∴EG∥CD，且EG，

∵AB∥CD，且AB，∴EG∥CD，且EG＝AB，

∴四边形AEGB为平行四边形，∴AE∥BG，

∵BG平面SBC，AE平面SBC，

∴AE∥平面SBC；

（2）解：设AB＝1，则BC＝1，CD＝2，取CD中点O，连接OS，OA ，

∴CO，

∵AB∥CD，∠ABC＝90°，

∴四边形ABCO为矩形，∴AO⊥CO，AO⊥CD，

平面ABCD∩平面SDC＝CD，∴AO⊥平面SDC，AO⊥SO，

∵△SDC为正三角形，∴SO⊥CD，

以O为原点，OS所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OA所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

A（0，0，1），S（，0，0），C（0，1，0），D（0，﹣1，0），F（，0，），

（，1，），（，﹣1，），

设平面FCD的一个法向量（a，b，c），

则，取x＝1，得（1，0，），

由题意取平面SDC的一个法向量（0，0，1），

设二面角F﹣CD﹣S的大小为θ，

则，

由图可知，为锐角，∴θ＝30°，

∴二面角F﹣CD﹣S的大小为30°．