Question

三棱锥的三条侧棱中，每两条之间的夹角都是90°，则该三棱锥的顶点在底面的射影是底面三角形的（ ）
A．内心
B．重心
C．垂心
D．外心

Answer 1

【答案】分析：一条侧棱就垂直于另外两条侧棱所组成的面，即垂直于在面上的底面的一条边，过顶点向底面做垂线，连接底面的顶点和垂足，根据三垂线定理得到连线是高线，得到三条高线的交点是垂心．
解答：解：三棱锥的三条侧棱中，每两条之间的夹角都是90°，
则三条侧棱两两垂直，
即SB⊥SA，SB⊥SC，
∵SA∩SC=S，
∴SB⊥面SAC，
∵AC?面SAC，
∴SB⊥AC，
过s向底面做垂线，垂足为O，连接BO，并延长交AC于D，
由三垂线定理知BD⊥AC，即BD 是三角形的高线，
∴三棱锥的顶点在底面的射影是底面三角形的垂心，
故选C．
点评：本题考查三角形的重心，考查线面垂直的判定和性质定理，考查三垂线定理，是一个判定五心的问题，这种题目一般需要判定顶点与心的连线是三角形的什么，从而得到结果．