Question

已知数列{a_n}是由正数组成的等差数列，S_n是其前n项的和，并且a₃=5，a₄S₂=28．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：不等式(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)•

1

2n+1

≥

2

3

3

对一切n∈N均成立．

Answer 1

分析：（1）设出等差数列的等差为d，根据等差数列的性质，利用a₃=5，a₄•S₂=28求出d及表示出数列{a_n}的通项公式；
（2）只需证明(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)≥

2

3

3

2n+1

成立，下面利用数学归纳法证明．当n=1时，代入不等式左右端，验算可得证．再证明从k到k+1时，利用分析法思想向要证明的代数式转化即可证明n=k+1时也成立，从而结论得证．

解答：解：（I）设数列{a_n}的公差为d，由已知得

a1+2d=5 (2a1+d)(a1+3d)=28

…（2分）
∴（5+d）（10-3d）=28，
∴3d²+5d-22=0，
解之得d=2或d=-

11

3

．
∵数列{a_n}各项均正，∴d=2，∴a₁=1．
∴a_n=2n-1．…（5分）
证明：（Ⅱ）∵n∈N，
∴只需证明(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)≥

2

3

3

2n+1

成立．…（7分）
（i）当n=1时，左=2，右=2，∴不等式成立．…（8分）
（ii）假设当n=k时不等式成立，即(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

ak

)≥

2

3

3

2k+1

．
那么当n=k+1时，(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

ak

)(1+

1

ak+1

)≥

2

3

3

2k+1

(1+

1

ak+1

)=

2

3

3

2k+2

2k+1

…（10分）
以下只需证明

2

3

3

2k+2

2k+1

≥

2

3

3

•

2k+3

．
即只需证明2k+2≥

2k+1

2k+3

．…（11分）
∵(2k+2)2-(

2k+1

•

2k+3

)2=1＞0．
∴(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

ak+1

)≥

2

3

3

2k+3

=

2

3

3

2(k+1)+1

．
综合（i）（ii）知，不等式对于n∈N都成立．…（12分）

点评：本题考查了等差数列的通项公式、数学归纳法以及数列与不等式的综合，综合性强，难度较大．对于涉及正整数的不等式证明问题通常通过数学归纳法来解决．