Question

9．已知函数f（x）=e^x，g（x）=ax²+2ax，若存在正整数x₀，使得f（x₀）＜g（x₀），则a的取值范围是a＞$\frac{（\sqrt{2}-1）{e}^{\sqrt{2}}}{2}$．

Answer 1

分析 由题意，f（x）-g（x）=e^x-ax²-2ax＜0在（0，+∞）上成立，a＞$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}+2x}$，求出右边的最小值，即可得出结论．

解答 解：由题意，f（x）-g（x）=e^x-ax²-2ax＜0在（0，+∞）上有解，
∴a＞$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}+2x}$，
令y=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}+2x}$，则y′=$\frac{{e}^{x}（{x}^{2}-2）}{（{x}^{2}+2x）^{2}}$，
∴（0，$\sqrt{2}$）上，y′＜0，（$\sqrt{2}$，+∞）上，y′＞0，
∴x=$\sqrt{2}$时，y=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}+2x}$的最小值为$\frac{（\sqrt{2}-1）{e}^{\sqrt{2}}}{2}$，
∴a＞$\frac{（\sqrt{2}-1）{e}^{\sqrt{2}}}{2}$，
故答案为：a＞$\frac{（\sqrt{2}-1）{e}^{\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题考查存在性问题，考查导数知识的综合运用，考查函数的最小值，属于中档题．