Question

14．设函数f（x）=|x+7|-|3x-4|．
（1）求f（6）的值；
（2）若f（x）＞-2，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把x=6代入f（x）的解析式即可求得f（6）的值；
（2）通过对自变量x范围的讨论，去掉函数f（x）=|x+7|-|3x-4|中绝对值符号，分别转化为一次不等式，即可求得x的取值范围．

解答 解：（1）由题意得，f（6）=|6+7|-|3×6-4|=-1；
（2）当x＜-7时，f（x）=-x-7+3x-4=2x-11，
由f（x）＞-2得，2x-11＞-2，解得x＞$\frac{9}{2}$，舍去；
当-7≤x≤$\frac{4}{3}$时，f（x）=x+7+3x-4=4x+3，
由f（x）＞-2得，4x+3＞-2，解得x$＞-\frac{5}{4}$，
则$-\frac{5}{4}＜$x≤$\frac{4}{3}$；
当x＞$\frac{4}{3}$时，f（x）=x+7-（3x-4）=-2x+19，
由f（x）＞-2得，-2x+19＞-2，解得x$＜\frac{21}{2}$，
则$\frac{4}{3}$＜x$＜\frac{21}{2}$；
综上所述，x的取值范围为$（-\frac{5}{4}，\frac{21}{2}）$．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，集合的并集运算，以及分类讨论思想，去掉函数f（x）的绝对值符号是关键，属于中档题．