Question

已知函数（为常数），其图象是曲线．
（1）当时，求函数的单调减区间；
（2）设函数的导函数为，若存在唯一的实数，使得与同时成立，求实数的取值范围；
（3）已知点为曲线上的动点，在点处作曲线的切线与曲线交于另一点，在点处作曲线的切线，设切线的斜率分别为．问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

 （1）；（2）；（3）当时，存在常数，使；当时，不存在常数，使.

试题分析：（1）这是一个求函数单调递减区间的问题，比较简单，可以通过导数的符号去判断；（2）这是一个两方程有公共解且公共解唯一的问题，消去参数后就转化为含有参数的关于未知数的三次方程有唯一解的问题，可利用三次函数的图象判断；（3）可设，然后把点的坐标和都用表示，再考察关于的等式恒成立，从而去确定常数是否存在.
试题解析：(1)当时， .             2分
令f ¢(x)<0，解得，f(x)的单调减区间为．          4分
(2) ，
由题意知消去，得有唯一解．  6分
令，则，
以在区间，上是增函数，在上是减函数，   8分
又，，
故实数的取值范围是．               10分
(3) 设，则点处切线方程为，
与曲线：联立方程组，得，即，所以点的横坐标．         12分
由题意知，，，
若存在常数，使得，则，
即常数，使得，
所以常数，使得解得常数，使得，．    15分
故当时，存在常数，使；当时，不存在常数，使．16分