Question

定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：f（x）-f（y）=f(

x-y

1-xy

)；当x∈（-1，0）时，有f（x）＞0；若P=f(

1

5

) +f(

1

11

) +••+f(

1

r2+r-1

) +…+f(

1

20092+2009-1

)，Q=f（

1

2

），R=f（0）；则P，Q，R的大小关系为（　　）

• A、R＞Q＞P
• B、P＞R＞Q
• C、R＞P＞Q
• D、不能确定

Answer 1

分析：函数f（x）满足：f（x）-f（y）=f（

x-y

1-xy

）；当x∈（-1，0）时，有f（x）＞0；证明函数是奇函数，以及它的单调性，根据f（

1

r2 +r-1

）=f（

1

r(r+1)-1

）=f（

1 r - 1 r+1

1- 1 r • 1 r+1

）=f（

1

r

）-f（

1

r+1

）对p进行化简，再根据单调性比较P，Q，R的大小．

解答：解：∵函数f（x）满足：f（x）-f（y）=f（

x-y

1-xy

）；当x∈（-1，0）时，有f（x）＞0；
∴f（x）在（-1，1）为奇函数，单调减函数，且在（-1，0）时，f（x）＞0，在（0，1）时f（x）＜0；∴R=f（0）=0，Q=f（

1

2

）＜0＜R，
∵f（

1

r2 +r-1

）=f（

1

r(r+1)-1

）=f（

1 r - 1 r+1

1- 1 r • 1 r+1

）=f（

1

r

）-f（

1

r+1

），
∴P=f（

1

5

）+f（

1

11

）+…+f（

1

r2+r-1

）+…+f（

1

20092+2009-1

），Q=f（

1

2

），
=[f（

1

2

）-f（

1

3

）]+[f（

1

3

）-f（

1

4

）]+…+[f（

1

2009

）-f（

1

2010

）]=f（

1

2

）-f（

1

2010

）
=Q-f（

1

2010

）＞Q，
P=f（

1

2

）-f（

1

2010

）＜0＜R，
故选C．

点评：对于抽象函数的解决方法，通常采取赋值法，把抽象的数学问题转化为熟悉的数学问题加以解决，命题的立意新，特别是对P=f(

1

5

) +f(

1

11

) +••+f(

1

r2+r-1

) +…+f(

1

20092+2009-1

)转化是难点，属中档题．