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精英家教网如图,已知圆A过定点B(0,2),圆心A在抛物线C:x2=4y上运动,MN为圆A在x轴上所截得的弦.
(Ⅰ)证明:|MN|是定值;
(Ⅱ)讨论抛物线C的准线l与圆A的位置关系;
(Ⅲ)设D是抛物线C的准线l上任意一点,过D向抛物线作两条切线DS,DT(切点是S,T),判断直线ST是否过定点,并证明你的结论.
分析:(Ⅰ)设A(x0,y0),根据抛物线的方程求得其横坐标和纵坐标的关系,根据两点间的距离表ishichu圆的半径,进而表示出圆的方程,把y=0,和x02=4y0代入,表示出x1和x2进而求得|MN|为定值.
(Ⅱ)先表示出圆心A到抛物线准线方程的距离,进而表示出d2-r2,根据y0的范围确定抛物线与圆的位置关系.
(Ⅲ)设出切点的坐标,对抛物线方程求导,求得切点处直线的斜率,表示出切线方程,把切点代入求得x1x2,进而根据S,T坐标表示出直线方程,把x1x2的值代入,进而根据直线的方程推断出直线恒过定点(0,1).
解答:精英家教网解:(Ⅰ)设A(x0,y0),则x02=4y0
则圆A的半径r=|AB|=
x
2
0
+(y0-2)2

则圆A的方程为(x-x02+(y-y02=x02+(y0-2)2
令y=0,并将x02=4y0代入得x2-2x0x+x02-4=0,
解得x1=x0-2,x2=x0+2,∴|MN|=|x1-x2|=4为定值.

(Ⅱ)圆心A到抛物线准线l:y=-1的距离为d=y0+1,
则d2-r2=6y0-3-x02=2y0-3
所以,当0≤y0
3
2
时,d<r,抛物线C的准线l与圆A相交;
y0=
3
2
时,d=r,抛物线C的准线l与圆A相切;
y0
3
2
时,d=r,抛物线C的准线l与圆A相离.

(Ⅲ)设切点为S(x1
x
2
1
4
),T(x2
x
2
2
4
)
,由y′=
1
2
xk

则切线为y+1=
xk
2
(x-t)

所以
x
2
k
4
=
1
2
xkt+1,(k=1,2)?
消去t可得,x1x2=-4.
kST=
x12-x22
4(x1-x2)
=
x1+x2
4

所以直线ST的方程是y-
x
2
1
4
=
x1+x2
4
(x-x1)

y=
x1+x2
4
x-
x1x2
4

把x1x2=-4,代入得y=
x1+x2
4
x+1

故直线ST是过定点F(0,1).
点评:本题主要考查了抛物线的应用.考查了考生综合运用基础知识的能力.
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