Question

已知函数f（x）=log_ax，（a＞0且a≠1）．
（1）若g（x）=f（|x|），当a＞1时，解不等式g（1）＜g（lgx）；
（2）若函数h（x）=|f（x-a）|-1，讨论h（x）在区间[2，4]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）g（x）=log_a|x|是偶函数，当x＞0时，g(x)=logax (a＞1)是增函数，当x＜0时，g（x）=log_a（-x）（a＞1）是减函数，不等式g（1）＜g（lgx），等价于g（1）＜g（|lgx|），利用单调性，即可求得不等式的解集；
（2）h（x）=|f（x-a）|-1=|log_a（x-a）|-1，根据x-a＞0，x∈[2，4]，可得0＜a＜4且a≠1，由于x=a+1时，log_a（x-a）=0，故需要分类讨论，从而确定h（x）在区间[2，4]上的最小值．

解答：解：（1）g（x）=log_a|x|是偶函数                         
当x＞0时，g(x)=logax (a＞1)是增函数，当x＜0时，g（x）=log_a（-x）（a＞1）是减函数，
∵g（1）＜g（lgx），∴g（1）＜g（|lgx|），
∴1＜|lgx|，
∴lgx＜-1或lgx＞1
∴0＜x＜0.1或x＞10；
∴不等式的解集为：{x|0＜x＜0.1或x＞10}
（2）h（x）=|f（x-a）|-1=|log_a（x-a）|-1
∵x-a＞0，x∈[2，4]，∴0＜a＜4且a≠1
若x=a+1时，log_a（x-a）=0
①当2＜a+1≤4，则1＜a≤3，∴x=a+1时，h（x）_min=h（a+1）=-1．              
②当a+1＜2，则0＜a＜1，在x∈[2，4]时，h（x）为增函数，
∴x=2时，h（x）_min=h（2）=-log_a（2-a）-1．          
③当a+1＞4，则3＜a＜4，在x∈[2，4]时，h（x）为减函数．
∴x=4时，h（x）_min=h（4）=-log_a（4-a）-1．           
∴h（x）_min=

-loga(2-a)-1，0＜a＜1 -1，1＜a≤3 -loga(4-a)-1，3＜a＜4

．

点评：本题是函数的单调性与奇偶性的综合，考查解不等式，考查利用单调性求函数的最值，考查分类讨论的数学思想．