Question

8．若α∈（0，π），且$\frac{1}{2}$cos2α=sin（$\frac{π}{4}$+α），则sin2α的值为-1．

Answer 1

分析 由条件利用两角和的正弦公式、二倍角公式求得，cosα-sinα，或 cosα+sinα的值，从而求得sin2α的值．

解答 解：∵α∈（0，π），且$\frac{1}{2}$cos2α=sin（$\frac{π}{4}$+α），∴cos2α=2sin（$\frac{π}{4}$+α），
∴（cosα+sinα）•（cosα-sinα）=$\sqrt{2}$（cosα+sinα），
∴cosα+sinα=0，或cosα-sinα=$\sqrt{2}$（不合题意，舍去），
∴α=$\frac{3π}{4}$，∴2α=$\frac{3π}{2}$，∴sin2α=sin$\frac{3π}{2}$=-1，
故答案为：-1．

点评 本题主要考查两角和差的正弦、余弦公式的应用，二倍角公式的应用，属于中档题．