Question

如图，在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，底面A₁B₁C₁D₁是正方形，O是BD的中点，E是棱AA₁上任意一点．

(1)证明：BD⊥EC₁；
(2)如果AB＝2，AE＝，OE⊥EC₁，求AA₁的长．

Answer 1

（1）见解析（2）3

(1)连接AC，A₁C₁.由底面是正方形知，BD⊥AC.

因为AA₁⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以AA₁⊥BD.
又AA₁∩AC＝A，所以BD⊥平面AA₁C₁C.
因为EC₁?平面AA₁C₁C知，BD⊥EC₁.
(2)设AA₁的长为h，连结OC₁.
在Rt△OAE中，AE＝，AO＝，
故OE²＝()²＋()²＝4.
在Rt△EA₁C₁中，A₁E＝h－，A₁C₁＝2，
故E＝(h－)²＋(2)².
在Rt△OCC₁中，OC＝，CC₁＝h，O＝h²＋()².
因为OE⊥EC₁，所以OE²＋E＝O，即
4＋(h－)²＋(2)²＝h²＋()²，
解得h＝3，所以AA₁的长为3.