Question

已知函数f（x）=，若存在实数x₀，使f（x₀）=x₀则称x₀是函数y=f（x）的一个不动点．
（I）证明：函数y=f（x）有两个不动点；
（II）已知a、b是y=f（x）的两个不动点，且a＞b．当x≠-≠时，比较与的大小；
（III）在数列{an}中，a₁≠-且a_n≠，a₁=1，等式a_n+1=f（a_n）对任何正整数n都成立，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

（I）证明：∵，
∴2x²-5x-3=0，
解得，x₂=3，经过检验，得，x₂=3是方程的解．
∴函数y=f（x）上有两个不动点，它们是，x₂=3．…（3分）
（II）解：由（I）可知a=3，b=-，
==8×．
∴与相等．…（6分）
（III）解：∵且，
由（II）知=，
∴．…（8分）
∴数列是以为首项，8为公比的等比数列．
即以-为首项，8为公比的等比数列．…（10分）
∴=-，
∴=．…（12分）
分析：（I）解方程，得，x₂=3，所以函数y=f（x）上有两个不动点，x₂=3．
（II）由a=3，b=-，知==8×．所以与相等．
（III）且，故=，所以，由此能够推导出数列{a_n}的通项公式．
点评：本题考查数列与函数的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．