Question

已知数列{a_n}中，a₁=0，a_n+1=

1+an

3-an

（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄，a₅的值，观察并归纳出这个数列的通项公式；
（2）是否存在不等于零的常数p，使{

1

an+p

}是等差数列，若存在，求出p的公差d的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据a₁=0，a_n+1=

1+an

3-an

（n∈N^*）求a₂，a₃，a₄，a₅的值，观察各项分子，分母的特点，于是可以写出通项公式a_n，
（2）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在不等于零的常数p，使{

1

an+p

}是等差数列，再利用

1

an+p

+d=

da n+(1+pd)

a n+p

，是关于变量a_n的恒等式，求出q和p的值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答：解：（1）a₁=0，a₂=

1+0

3-0

=

1

3

，a₃=

1+ 1 3

3- 1 3

=

1

2

，
a₄=

3

5

，a₅=

2

3

，…
观察并归纳出这个数列的通项公式a_n=

n-1

n+1

．
（2）设存在不等于零的常数p，使{

1

an+p

}是等差数列，
则

1

an+1+p

=

1

an+p

+d，
而

1

an+1+p

=

1

1+an 3-an +p

=

3-a n

(1-p)a n+(3p+1)

，

1

an+p

+d=

da n+(1+pd)

a n+p

，
∴

3-a n

(1-p)a n+(3p+1)

=

da n+(1+pd)

a n+p

，
化简得：（1+d-pd）a_n²+（d-2+4pd-p²d）a_n+（1+pd+3p²d）=0，
因为上式是关于变量a_n的恒等式，
∴

1+d-pd=0 d-2+4pd-p 2d=0 1+pd+3p 2d=0

解得：

p=-1 d=- 1 2

，
∴存在不等于零的常数p=-1，使{

1

an+p

}是等差数列，且公差为-

1

2

．

点评：本题主要考查数列递推式和等差关系的确定等知识点，熟练掌握归纳法进行数学解题，本题难度一般．