Question

8．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{a}{x}$（x≠0，常数a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数f（x）在区间[1，+∞）上为增函数，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）a=0时容易判断出f（x）是偶函数，对于a≠0时能够判断出是非奇非偶函数，只需举反例说明即可；
（2）求f′（x），则有f′（x）≥0在[2，+∞）上恒成立，便得到a≤2x³恒成立，从而得到a≤16，这便得出了a的取值范围．

解答 解：（1）当a=0时，f（x）=$\frac{1}{2}$x²，对任意x∈（-∞，0）∪（0，+∞），f（-x）=（-x）²=x²=f（x），∴f（x）为偶函数；
当a≠0时，f（x）=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{a}{x}$（a≠0，x≠0），取x=±1，得f（-1）+f（1）=1≠0，f（-1）-f（1）=-2a≠0，∴f（-1）≠-f（1），f（-1）≠f（1）；
∴函数f（x）既不是奇函数，也不是偶函数；
（2）f′（x）=x-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{3}-a}{{x}^{2}}$；
∴x∈[1，+∞）时，$\frac{{x}^{3}-a}{{x}^{2}}$≥0恒成立，即a≤x³恒成立，x³在[1，+∞）的最小值为1，∴a≤1；
∴a的取值范围是（-∞，1]．

点评 考查奇偶函数的定义，函数单调性和函数导数符号的关系，x³的单调性并根据单调性求最值．