Question

已知{a_n}为单调递增的等比数列，S_n为其前n项和，满足S₄=a₁+28，且a₂，a₃+2，a₄仍构成等差数列．
（Ⅰ）求a₂₀₁₄；
（Ⅱ）设数列{c_n}的通项公式为c_n=log 

1

2

a_n，b_n=a_n•c_n，T_n为数列{b_n}的前n项和，现有真命题p：“T_n+n•2ⁿ⁺¹≥

1

3

x³-

1

2

（2a+1）x²+（a²+a）x恒成立，a≥1．x∈[0，1]”，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用{a_n}为单调递增的等比数列，S₄=a₁+28，且a₂，a₃+2，a₄仍构成等差数列，求出数列的首项与公比，可得数列的通项，即可求a₂₀₁₄；
（Ⅱ）求得数列{b_n}的通项，利用错位相减法求出前n项和，可得其最小值，求出表达式右边的最大值，解不等式，即可求a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）设{a_n}的首项为a₁，公比为q，则
∵a₂，a₃+2，a₄构成等差数列，
∴2（a₃+2）=a₂+a₄，①
∵S₄=a₁+28，
∴a₂+a₃+a₄=28，②
∴a₃=8，a₂+a₄=20，
∴

a1q+a1q3=20 a1q2=8

，
∴

q=2 a1=2

或

q= 1 2 a1=32

，
∵{a_n}为单调递增的等比数列，
∴an=2n，
∴a₂₀₁₄=2²⁰¹⁴；
（Ⅱ）∵c_n=log 

1

2

a_n，b_n=a_n•c_n，
∴b_n=-n•2ⁿ；
∴-T_n=1×2+2×2²+…+n•2ⁿ，
∴-2T_n=1×2²+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
两式相减可得T_n=2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n+n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2
∴（T_n+n•2ⁿ⁺¹）_min=2，
a≥1时，令f（x）=

1

3

x³-

1

2

（2a+1）x²+（a²+a）x，则f′（x）=（x-a）[x-（a+1）]≥0对x∈[0，1]恒成立．
∴x=1时，f（x）取得最大值f（1）=a²-

1

6

，
∴2≥a²-

1

6

，
∴-

78

6

≤a≤

78

6

，
∵a≥1，
∴1≤a≤

78

6

．

点评：本题考查等比数列的通项，考查数列的求和，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，正确求最值是关键．