Question

【题目】已知椭圆的离心率，过点和的直线与原点的距离为.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设分别为椭圆C的左、右焦点，过作直线交椭圆于P，Q两点，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）写出直线方程的截距式，化为一般式，由点到直线的距离公式得到关于，的方程，结合椭圆离心率以及隐含条件求解，的值，即可得到椭圆方程；

（2）由题意设直线方程，与椭圆方程联立，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系可得，的纵坐标的和与积，代入三角形面积公式，换元后利用基本不等式求得面积的最大值.

（1）直线的方程为，即，

由原点到直线的距离为，即.

又椭圆的离心率，得，而，

所以，

故椭圆C的标准方程为.

（2）由（1）可得，设，，

由于直线PQ的斜率不为0，故设其方程为，

由，得，

所以，，

所以

，

令，则，则，

当且仅当，即，即时，的面积取得最大值.