Question

已知抛物线C：x²=2py（p＞0），其焦点F到准线的距离为

1

2

．
（1）试求抛物线C的方程；
（2）设抛物线C上一点P的横坐标为t（t＞0），过P的直线交C于另一点Q，交x轴于M，过点Q作PQ的垂线交C于另一点N，若MN是C的切线，求t的最小值．

Answer 1

分析：（1）直接利用焦点F到准线的距离为

1

2

，求出p，即可求抛物线C的方程；
（2）先把直线MN的方程用点N的坐标表示出来，令y=0求出点M的坐标；进而求出直线NQ与QP的斜率，再结合k_PM•k_NQ=-1以及

MQ

与

MP

共线，得到x和t之间的关系即可求出t的最小值．

解答：解：（1）因为：焦点F到准线的距离为

1

2

．
所以：p=

1

2

．
所以所求方程为：x²=y
（2）设P（t，t²），Q（x，x²），N（x₀x₀²），则直线MN的方程为y-x₀²=2x₀（x-x₀）
令y=0，得M(

x0

2

，0)，
∴kPM=

t2

t- x0 2

=

2t2

2t-x0

，kNQ=

x 2 0 -x2

x0-x

=x0+x
∵NQ⊥QP，且两直线斜率存在，
∴k_PM•k_NQ=-1，即

2t2

2t-x0

(x0+x)=-1，
整理得x0=

2t2x+2t

1-2t2

(1)，又Q（x，x²）在直线PM上，
则

MQ

与

MP

共线，得x0=

2xt

x+t

(2)
由（1）、（2）得

2t2x+2t

1-2t2

=

2xt

x+t

(t＞0)，
∴t=

x2+1

3x

，
∴t≥

2

3

或t≤-

2

3

（舍）
∴所求t的最小值为

2

3

．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系．第一问涉及到抛物线的标准方程的求法，解决第一问的关键在于知道焦点F到准线的距离即为p的值．