Question

已知f（x）=lnx-

a

x

．
（Ⅰ）当a＞0时，判断f（x）在定义域上的单调性；
（Ⅱ）若f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立，试求a的取值范围；
（Ⅲ）若f（x）在[1，e]上的最小值为

3

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（I）根据题意，易得函数的定义域，将原函数分为两部分，即y₁=lnx与y₂=-

a

x

，易得两者均为增函数，进而由单调性的性质，可得f（x）的单调性；
（Ⅱ）分析可得，f（x）＜x²恒成立等价于a＞xlnx-x³在（1，+∞）上恒成立，令g（x）=xlnx-x³，对其求导，可以判断其为减函数，进而可得其最大值，另a大于其最大值可得答案；
（III）根据题意，对函数的定义域分三种情况讨论，分别求导，判断单调性，求出最小值，令其等于

3

2

，可以解得a的值，分析取舍可得答案．

解答：解：（I）已知函数定义域为（0，+∝），
又有a＞0，则y₂=-

a

x

是增函数，
y₁=lnx与y₂=-

a

x

都是增函数，
故f（x）=lnx-

a

x

在定义域上是增函数．
（Ⅱ）由已知f（x）＜x²，即f（x）=lnx-

a

x

＜x²，在（1，+∞）上恒成立，
即a＞xlnx-x³在（1，+∞）上恒成立
令g（x）=xlnx-x³，则g′（x）=lnx-3x²+1，
又[g′（x）]'=

1

X

-6x＜0，在（1，+∞）上恒成立，
所以g′（x）在（1，+∞）上为减函数，故g′（x）＜g′（1）＜0，
因此g（x）在（1，+∞）为减函数，
故a≥g（1），即a≥-1．（5分）
（III）分三种情况讨论，
（1）令f′（x）≥0，在[1，e]上恒成立，x+a≥0，即a≥-x，
则a≥-1时．此时f（x）在[1，e]上为增函数．
f（x）_min=f（1）=-a=

3

2

，
得a=-

3

2

，（舍去）
（2）令f′（x）≤0，在[1，e]上恒成立，有x+a≤0，即a≤-x，
则a≤-e时．此时f（x）在[1，e]上为减函数．
则f（x）_min=f（e）=1-

a

e

=

3

2

，
得a=-

e

2

（舍去），
（3）当-e＜x＜-1时，令f′（x）=0，得x₀=-a，
当1＜x＜x₀时，f′（x）＜0，f（x）在（1，x₀）上为减函数，
当x₀＜x＜e时，f′（x）＞0，f（x）在（x₀，e）上为增函数，
f（x）_min=f（-a）=ln（-a）+1=

3

2

，
解可得a=-

e

，
综上可得，a=-

e

．（6分）．

点评：本题考查导函数的运用，一般方法为先求导，再分析单调性，进而分析可得函数的极值，比较可得函数的最值；注意有时需要对函数的极值或已知区间分情况讨论．