Question

14．已知函数$f（x）={（{\frac{1}{2}}）^x}$，函数$g（x）={log_{\frac{1}{2}}}$x．
（1）若g（mx²+2x+m）的定义域为R，求实数m的取值范围；
（2）当x∈[-1，1]时，求函数y=[f（x）]²-2af（x）+3的最小值h（a）；
（3）是否存在非负实数m、n，使得函数$y={log_{\frac{1}{2}}}f（{x^2}）$的定义域为[m，n]，值域为[2m，2n]，若存在，求出m、n的值；若不存在，则说明理由．

Answer 1

分析 （1）若$y=g（{m{x^2}+2x+m}）={log_{\frac{1}{2}}}（{m{x^2}+2x+m}）$的定义域为R，则真数大于0恒成立，结合二次函数的图象和性质，分类讨论满足条件的实数m的取值范围，综合讨论结果，可得答案；
（2）令$t={（{\frac{1}{2}}）^x}$，则函数y=[f（x）]²-2af（x）+3可化为：y=t²-2at+3，$t∈[{\frac{1}{2}，2}]$，结合二次函数的图象和性质，分类讨论各种情况下h（a）的表达式，综合讨论结果，可得答案；
（3）假设存在，由题意，知$\left\{{\begin{array}{l}{{m^2}=2m}\\{{n^2}=2n}\end{array}}\right.$解得答案．

解答 解：（1）∵$g（x）={log_{\frac{1}{2}}}x$，
∴$y=g（{m{x^2}+2x+m}）={log_{\frac{1}{2}}}（{m{x^2}+2x+m}）$，
令u=mx²+2x+m，则$y={log_{\frac{1}{2}}}u$，
当m=0时，u=2x，$y={log_{\frac{1}{2}}}2x$的定义域为（0，+∞），不满足题意；
当m≠0时，若$y={log_{\frac{1}{2}}}u$的定义域为R，
则$\left\{\begin{array}{l}m＞0\\△=4-4{m}^{2}＜0\end{array}\right.$，
解得m＞1，
综上所述，m＞1     …（4分）
（2）$y={[{f（x）}]^2}-2af（x）+3={（{\frac{1}{2}}）^{2x}}-2a{（{\frac{1}{2}}）^x}+3$=${[{{{（{\frac{1}{2}}）}^x}}]^2}-2a{（{\frac{1}{2}}）^x}+3$，x∈[-1，1]，
令$t={（{\frac{1}{2}}）^x}$，则$t∈[{\frac{1}{2}，2}]$，y=t²-2at+3，$t∈[{\frac{1}{2}，2}]$
∵函数y=t²-2at+3的图象是开口朝上，且以t=a为对称轴的抛物线，
故当$a＜\frac{1}{2}$时，$t=\frac{1}{2}$时，$h（a）={y_{min}}=\frac{13}{4}-a$；
当$\frac{1}{2}≤a≤2$时，t=a时，$h（a）={y_{min}}=3-{a^2}$；
当a＞2时，t=2时，h（a）=y_min=7-4a．
综上所述，$h（a）=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{13}{4}-a，a＜\frac{1}{2}}\\{3-{a^2}，\frac{1}{2}≤a≤2}\\{7-4a，a＞2}\end{array}}\right.$…（10分）
（3）$y={log_{\frac{1}{2}}}f（{x^2}）={log_{\frac{1}{2}}}{（{\frac{1}{2}}）^{x^2}}={x^2}$，
假设存在，由题意，知$\left\{{\begin{array}{l}{{m^2}=2m}\\{{n^2}=2n}\end{array}}\right.$
解得$\left\{{\begin{array}{l}{m=0}\\{n=2}\end{array}}\right.$，
∴存在m=0，n=2，使得函数$y={log_{\frac{1}{2}}}f（{x^2}）$的定义域为[0，2]，值域为[0，4]…（12分）

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．