Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为a，侧棱长为

2

a．
（1）建立适当的坐标系，并写出点A，B，A₁，C₁的坐标；
（2）求AC₁与侧面ABB₁A₁所成的角．

Answer 1

分析：（1）以点A为坐标原点O，以AB所成直线为Oy轴，以AA₁所在直线为Oz轴，以经过原点且与平面ABB₁A₁垂直的直线为Ox轴，建立空间直角坐标系，可求出A，B，A₁，C₁的坐标；
（2）取A₁B₁的中点M，易证AC₁与AM所成的角就是AC₁与侧面ABB₁A₁所成的角，求出

AC1

与

AM

的坐标，利用向量的夹角公式求出此角即可．

解答：解：①如图，以点A为坐标原点O，以AB所成直线为Oy轴，
以AA₁所在直线为Oz轴，以经过原点且与平面ABB₁A₁垂直的直线为Ox轴，建立空间直角坐标系．
由已知得A（0，0，0），B（0，a，0），A1(0，0，

2

a)，C1(-

3

2

a，

a

2

，

2

a)．
②坐标系如上，取A₁B₁的中点M，于是有M(0，

a

2

，

2

a)，
连AM，MC₁有

MC1

=(-

3

2

a，0，0)，
且

AB

=（0，a，0），

AA1

=(0，0，

2

a)，
由

MC1

•

AB

=0，

MC1

•

AA1

=0，
所以，MC₁⊥面ABB₁A₁，
∴AC₁与AM所成的角就是AC₁与侧面ABB₁A₁所成的角．
∵

AC1

=(-

3

2

a，

a

2

，

2

a)，

AM

=(0，

a

2

，

2

a)，
∴

AC1

•

AM

=0+

a2

4

+2a2=

9

4

a2，|

AC1

|=

3a2 4 + a2 4 +2a2

=

3

a，|

AM

|=

a2 4 +2a2

=

3

2

a，
∴cos＜

AC1

，

AM

＞=

9 4 a2

3 a• 3 2 a

=

3

2

，
所以，

AC1

与

AM

所成的角，即AC₁与侧面ABB₁A₁所成的角为30°．

点评：本题主要考查了直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．