Question

8．已知函数y=-x³+3x+c的图象与x轴恰有两个不同公共点，则实数c的值为±2．

Answer 1

分析 求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数y=-x³+3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，可得极大值等于0或极小值等于0，由此可求c的值．

解答 解：求导函数可得y′=-3x²+3=-3（x+1）（x-1），
令y′＞0，可得-1＜x＜1；令y′＜0，可得x＞1或x＜-1；
∴函数在（-∞，-1），（1，+∞）上单调减，（-1，1）上单调增，
∴函数在x=1处取得极大值，在x=-1处取得极小值，
∵函数y=-x³+3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，
∴极大值等于0或极小值等于0，
∴-1+3+c=0或1-3+c=0，
∴c=-2或2．
故答案为：±2．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，解题的关键是利用极大值等于0或极小值等于0．