Question

在平面直角坐标系xoy中，已知

OA

=（-1，0），

OB

=（0，

3

），

OC

=（cosθ，sinθ），其中θ∈[0，

π

2

]．
（Ⅰ）若

AB

∥

OC

，求tanθ；
（Ⅱ）求

AC

•

BC

的最大值；
（Ⅲ）是否存在θ∈[0，

π

2

]，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出θ的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（I）由向量的坐标运算法则，得

AB

=（1，

3

），再根据向量平行的条件列式，解关于θ的等式即可求出tanθ；
（II）算出

AC

、

BC

的坐标，根据向量数量积的坐标式得到

AC

•

BC

=1-2sin（θ-

π

6

），再利用三角函数的图象与性质，即可求出

AC

•

BC

的最大值；
（III）分别计算

AB

•

AC

、

BA

•

BC

，利用三角函数的值域得到它们都为正数，从而得到∠BAC、∠ABC都为锐角．因此只有当∠ACB为钝角时△ABC为钝角三角形，再解

CA

•

CB

＜0得到关于θ的不等式，利用三角函数的图象得到θ∈（

π

3

，

π

2

]，即为使△ABC为钝角三角形的θ的取值范围．

解答：解：（I）∵

OA

=（-1，0），

OB

=（0，

3

），∴

AB

=（1，

3

）
∵

OC

=（cosθ，sinθ），

AB

∥

OC

，
∴cosθ•

3

=sinθ•1，可得tanθ=

sinθ

cosθ

=

3

结合θ∈[0，

π

2

]，可得θ=

π

3

；
（II）∵

AC

=（1+cosθ，sinθ），

BC

=（cosθ，sinθ-

3

）
∴

AC

•

BC

=cosθ（1+cosθ）+sinθ（sinθ-

3

）
=cos²θ+sin²θ-（

3

sinθ-cosθ）=1-2sin（θ-

π

6

）
∵θ∈[0，

π

2

]，可得θ-

π

6

∈[-

π

6

，

π

3

]
∴-

1

2

≤sin（θ-

π

6

）≤

3

2

，可得1-2sin（θ-

π

6

）∈[1-

3

，2]
当且仅当θ=0时，

AC

•

BC

的最大值为2；
（III）∵

AB

=（1，

3

），

AC

=（1+cosθ，sinθ），
∴

AB

•

AC

=1+cosθ+

3

sinθ，
结合θ∈[0，

π

2

]可得

AB

•

AC

＞1为正数，因此∠BAC为锐角
同理，

BA

•

BC

=3-2sin（θ+

π

6

）＞0，可得∠ABC为锐角
由以上的分析，可得只有当∠ACB为钝角时，△ABC为钝角三角形
由（II），可得

CA

•

CB

=

AC

•

BC

=1-2sin（θ-

π

6

）
当sin（θ-

π

6

）＞

1

2

时，即θ-

π

6

＞

π

6

时，
也就是θ＞

π

3

时，

CA

•

CB

=1-2sin（θ-

π

6

）＜0，此时∠ACB为钝角
因此存在θ∈（

π

3

，

π

2

]，满足△ABC为钝角三角形．

点评：本题给出向量含有三角函数式的坐标，求数量积的最值并讨论三角形的形状问题．着重考查了向量数量积的定义及其运算公式、三角函数式的化简和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．