Question

已知点P（3，4）和圆C：（x-2）²+y²=4，A，B是圆C上两个动点，且|AB|=2

3

，则

OP

•(

OA

+

OB

)（O为坐标原点）的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：设线段AB的中点为D，可得AD=

3

，CD=1，即点D在圆：（x-2）²+y²=1上，可设点D（2+cosα，sinα），求得

OP

•(

OA

+

OB

)=

OP

•2

OD

=12+10sin（α+θ），可得所求．

解答： 解：设线段AB的中点为D，∵|AB|=2

3

，∴|AD|=

3

，CD=1，
∴点D在圆：（x-2）²+y²=1上，可设点D（2+cosα，sinα），
则得

OP

•(

OA

+

OB

)=

OP

•2

OD

=（6，8）•（2+cosα，sinα）=12+6cosα+8sinα
=12+10sin（α+θ），其中，sinθ=

3

5

，cosθ=

4

5

，
∴

OP

•(

OA

+

OB

)的最小值为12-10=2，最大值为12+10=22，
∴

OP

•(

OA

+

OB

)的范围是[2，22]．
故答案为：[2，22]．

点评：本题考查了直线与圆的位置关系、向量的数量积的坐标运算以及三角函数的最值求法．