【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知直线经过点,倾斜角,圆的极坐标方程.
(1)写出直线的参数方程,并把圆的方程化为直角坐标方程;
(2)设圆上的点到直线的距离最近,点到直线的距离最远,求点的横坐标之积.
【答案】(1) 圆的直角坐标方程为;(2) 点的横坐标之积为.
【解析】试题分析:(I)由题意可得直线l的参数方程为: (t为参数).圆C的极坐标方程是ρ=2cosθ即ρ2=2ρcosθ,利用ρ2=x2+y2,x=ρcosθ即可化为直角坐标方程.
(II)经过圆心(1,0)且与直线l垂直的直线方程为:y=﹣(x﹣1),即直线AB的方程.与圆的方程联立化为: .利用根与系数的关系即可得出.
试题解析:
(1)直线的参数方程为即(为参数)
由得
因为, , ,
所以,即圆的直角坐标方程为.
(2)将直线的参数方程化为直角坐标方程是,
过圆心且垂直于的直线的方程为,
即.
则直线: 与圆: 的交点为两点.
设点的横坐标分别为,联立消去,
得,则.
故点的横坐标之积为.
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【题目】把函数y=sin3x的图象向右平移 个长度单位,所得曲线的对应函数式( )
A.y=sin(3x﹣ )
B.y=sin(3x+ )
C.y=sin(3x﹣ )
D.y=sin(3x+ )
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【题目】已知平面α与平面β相交于直线l,l1在平面α内,l2在平面β内,若直线l1和l2是异面直线,则下列说法正确的是( )
A.l与都相交l1 , l2
B.l至少与l1 , l2中的一条相交
C.l至多与l1 , l2中的一条相交
D.l与l1 , l2都不相交
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【题目】已知函数y=x+ (a>0)在区间 上单调递减,在区间 上单调递增;函数
(1)请写出函数f(x)=x2+ (a>0)与函数g(x)=xn+ (a>0,n∈N,n≥3)在(0,+∞)的单调区间(只写结论,不证明);
(2)求函数h(x)的最值;
(3)讨论方程h2(x)﹣3mh(x)+2m2=0(0<m≤30)实根的个数.
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【题目】三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,△ABC是边长为4的等边三角形,D为AB边中点,且CC1=2AB.
(1)求证:平面C1CD⊥平面ABC;
(2)求证:AC1∥平面CDB1;
(3)求三棱锥D﹣CAB1的体积.
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【题目】已知函数f(x)= ,若存在实数x1 , x2 , x3 , x4 , 满足x1<x2<x3<x4 , 且f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),则 的取值范围是( ).
A.(0,4)
B.(0, )
C.( , )
D.( , )
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【题目】正方形ABCD所在的平面与三角形CDE所在的平面交于CD,且AE⊥平面CDE.
(1)求证:AB∥平面CDE;
(2)求证:平面ABCD⊥平面ADE.
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【题目】如图,矩形ABCD是某小区户外活动空地的平面示意图,其中AB=50米,AD=100米,现拟在直角三角形OMN内栽植草坪供儿童踢球娱乐(其中,点O为AD的中点,OM⊥ON,点M在AB上,点N在CD上),将破旧的道路AM重新铺设.已知草坪成本为每平方米20元,新道路AM成本为每米500元,设∠OMA=θ,记草坪栽植与新道路铺设所需的总费用为f(θ).
(1)求f(θ)关于θ函数关系式,并写出定义域;
(2)为节约投入成本,当tanθ为何值时,总费用 f(θ)最小?
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【题目】已知直线: ax+by=1(其中a,b是实数) 与圆:x2+y2=1(O是坐标原点)相交于A,B两点,且△AOB是直角三角形,点P(a,b)是以点M(0,1)为圆心的圆M上的任意一点,则圆M的面积最小值为 .
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