Question

已知函数y=log_a（1-a^x）  （a＞0且a≠1）
（1）求函数的定义域和值域；
（2）证明函数的图象关于直线y=x对称．

Answer 1

分析：（1）要使函数y=log_a（1-a^x）有意义，则1-a^x＞0，即a^x＜1．当0＜a＜1和当a＞1两种情况，分别求得x、y的范围，即可得到函数的定义域和值域．
（2）先求得原函数的反函数为y=log_a（1-a^x），与原函数相同，即可证得函数的图象关于直线y=x对．

解答：解：（1）要使函数y=log_a（1-a^x）有意义，则1-a^x＞0，即a^x＜1．
∴当0＜a＜1时，求得x＞0，此时，0＜1-a^x＜1，∴y=log_a（1-a^x）＞0，故函数的定义域为（0，+∞），值域为（0，+∞）．
当a＞1时，求得x＜0，此时，0＜1-a^x＜1，∴y=log_a（1-a^x）＜0，故函数的定义域为（-∞，0），值域为（-∞，0）．
（2）由y=log_a（1-a^x）可得1-a^x=a^y，解得 x=log_a（1-a^y），故原函数的反函数为y=log_a（1-a^x）与原函数相同，
所以函数的图象关于直线y=x对称．

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质的综合应用，函数与反函数图象间的关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．