Question

3．已知直线l的极坐标方程是psin（θ+$\frac{π}{6}$）=2，以极点为原点，极输为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
（1）求直线l的普通方程；
（2）求曲线C上的点到直线l的距离的最小值．

Answer 1

分析 （1）首先，根据两角和的正弦公式展开，然后，利用极坐标和直角坐标互化公式进行求解；
（2）首先，可以设与直线l平行的直线，然后，联立方程组，求解相切位置情况下的直线方程，然后，求解两条直线之间的距离就是所求的最小距离．

解答 解：（1）∵直线l的极坐标方程是psin（θ+$\frac{π}{6}$）=2，
∴ρsinθcos$\frac{π}{6}$+ρcosθsin$\frac{π}{6}$=2，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}y+\frac{1}{2}x=2$，
∴x+$\sqrt{3}$y-4=0，
∴直线l的普通方程：x+$\sqrt{3}$y-4=0，
（2）∵曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
∴$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
设与直线l平行的直线方程为：x+$\sqrt{3}$y+m=0，
∴联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}y-m}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，
∴13y²+6$\sqrt{3}$my+3m²-12=0，
∴△=（6$\sqrt{3}$m）²-4×13×3（m²-4）=0，
∴m²=13，
∴m=±$\sqrt{13}$，
∴曲线C上的点到直线l的距离的最小值d=$\frac{|4-\sqrt{13}|}{2}$=$2-\frac{\sqrt{13}}{2}$．

点评 本题重点考查了直线的极坐标方程、椭圆的参数方程和普通方程的互化、直线与椭圆的位置关系等知识，属于中档题．