Question

7．四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=AD=$\frac{1}{2}$CD，AB∥CD，∠ADC=90°．
（1）求证：平面PBC⊥平面PCD；
（2）若M为线段PC上一点，且$\overrightarrow{PM}$=2$\overrightarrow{MC}$，求线段AM与平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取Q为侧棱PC中点，取PD的中点E，连AE、EQ、BQ，∵Q、E分别为PC、PD的中点，证明BQ∥AE．只需证AE⊥平面PCD，通过证明PA⊥CD．AD⊥CD，推出CD⊥平面PAD．得到CD⊥AE，AE⊥PD，推出AE⊥平面PCD．如何证明平面PBC⊥平面PCD．
（2）建立空间直角坐标系，设PA=AB=AD=1，CD=2，求出相关点的坐标，平面PBC的法向量，求出$\overrightarrow{AM}$=（$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}$）．设所求线面角为θ，利用数量积求解即可．

解答 证明：（1）取Q为侧棱PC中点
如图，取PD的中点E，连AE、EQ、BQ

∵Q、E分别为PC、PD的中点，∴EQ为△PCD的中位线，
∴EQ∥AB且EQ=AB，
∴四边形ABQE为平行四边形，则BQ∥AE．
只需证AE⊥平面PCD
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD．
又∵AD⊥CD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD．
∵AE?平面PAD，∴CD⊥AE，
∵PA=AD，E为PD中点，∴AE⊥PD?
∵CD∩PD=D，∴由??得AE⊥平面PCD．
∵BQ∥AE，∴BQ⊥平面PCD．
∵BQ?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PCD．
（2）如图所示建立空间直角坐标系，

设PA=AB=AD=1，CD=2，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，2，0），P（0，0，1）
则$\overrightarrow{PB}$=（0，1，-1），$\overrightarrow{BC}$=（1，1，0）．
设平面PBC的法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，则
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{y-z=0}\\{x+y=0}\end{array}\right.$，不妨令x=-1，∴$\overrightarrow{n}$=（-1，1，1）．
由$\overrightarrow{PM}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{PC}$，有M（$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}$），∴$\overrightarrow{AM}$=（$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}$）．
设所求线面角为θ，则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AM}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{\frac{21}{9}}•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$．
∴所求线面角的正弦值为$\frac{{\sqrt{7}}}{7}$．

点评 本题考查直线与平面所成角的求法，平面与平面垂直的判定定理以及直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力、逻辑推理能力以及计算能力．