Question

如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB的延长线上，N在AD的延长线上，且对角线MN过C点．已知AB=3米，AD=2米．
（I）设AN=x（单位：米），要使花坛AMPN的面积大于32平方米，求x的取值范围；
（Ⅱ）若x∈[3，4）（单位：米），则当AM，AN的长度分别是多少时，花坛AMPN的面积最大？并求出最大面积．

Answer 1

分析：先由相似性表示AM，建立四边形AMPN的面积模型，（I）解关于x的不等式；
（II）先对面积函数模型求导，用导数法求最值．

解答：解：由于

DN

AN

=

DC

AM

，则AM=

3x

x-2

故S_AMPN=AN•AM=

3x2

x-2

（4分）
（1）由S_AMPN＞32得

3x2

x-2

＞32，
因为x＞2，所以3x²-32x+64＞0，即（3x-8）（x-8）＞0
从而2＜x＜

8

3

或x＞8
即AN长的取值范围是(2，

8

3

)∪(8，+∞)（8分）
（2）令y=

3x2

x-2

，则y′=

6x(x-2)-3x2

(x-2)2

=

3x(x-4)

(x-2)2

（10分）
因为当x∈[3，4）时，y′＜0，所以函数y=

3x2

x-2

在[3，4）上为单调递减函数，
从而当x=3时y=

3x2

x-2

取得最大值，即花坛AMPN的面积最大27平方米，
此时AN=3米，AM=9米

点评：本题主要考查用相似性构建边的关系，建立平面图形面积函数模型及导数法解模求最值的能力．