Question

已知函数f（x）=

-2x+3

2x-7

，若存在实数x₀，使f（x₀）=x₀则称x₀是函数y=f（x）的一个不动点．
（I）证明：函数y=f（x）有两个不动点；
（II）已知a、b是y=f（x）的两个不动点，且a＞b．当x≠-

1

2

≠

7

2

时，比较

f(x)-a

f(x)-b

与

8(x-a)

x-b

的大小；
（III）在数列{an}中，a₁≠-

1

2

且a_n≠

7

2

，a₁=1，等式a_n+1=f（a_n）对任何正整数n都成立，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（I）解方程

-2x+3

2x-7

=x，得x1=-

1

2

，x₂=3，所以函数y=f（x）上有两个不动点x1=-

1

2

，x₂=3．
（II）由a=3，b=-

1

2

，知

-2x+3 2x-7 -3

-2x+3 2x-7 + 1 2

=

-8x+24

-x- 1 2

=8×

x-3

x+ 1 2

．所以

f(x)-a

f(x)-b

与

8(x-a)

x-b

相等．
（III）an≠-

1

2

且an≠

7

2

，故

f(an)-3

f(an)+ 1 2

=

8(an-3)

an+ 1 2

，所以

an+1-3

an+1+ 1 2

=

8(an-3)

(an+ 1 2 )

，由此能够推导出数列{a_n}的通项公式．

解答：（I）证明：∵

-2x+3

2x-7

=x，
∴2x²-5x-3=0，
解得x1=-

1

2

，x₂=3，经过检验，得x1=-

1

2

，x₂=3是方程

-2x+3

2x-7

=x的解．
∴函数y=f（x）上有两个不动点，它们是x1=-

1

2

，x₂=3．…（3分）
（II）解：由（I）可知a=3，b=-

1

2

，

-2x+3 2x-7 -3

-2x+3 2x-7 + 1 2

=

-8x+24

-x- 1 2

=8×

x-3

x+ 1 2

．
∴

f(x)-a

f(x)-b

与

8(x-a)

x-b

相等．…（6分）
（III）解：∵an≠-

1

2

且an≠

7

2

，
由（II）知

f(an)-3

f(an)+ 1 2

=

8(an-3)

an+ 1 2

，
∴

an+1-3

an+1+ 1 2

=

8(an-3)

(an+ 1 2 )

．…（8分）
∴数列{

an-3

an+ 1 2

}是以

a1-3

a1+ 1 2

为首项，8为公比的等比数列．
即以-

4

3

为首项，8为公比的等比数列．…（10分）
∴

an -3

an+ 1 2

=-

4

3

•8n-1，
∴an=

3- 1 2 • 4 3 • 8n-1

1+ 4 3 •8n-1

=

9-2•8n-1

3+4•8n-1

．…（12分）

点评：本题考查数列与函数的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．