Question

15．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1-t}\\{y=3+2t}\end{array}\right.$（t是参数），以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程是ρ=4cos（θ-$\frac{π}{2}$）．
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）已知点P的直角坐标为（2，1）直线l与圆C交于A，B两点，求||PA|-|PB||

Answer 1

分析 （1）由ρ²=4ρsinθ，能求出圆C的直角坐标方程．
（2）直线l消去参数t，得直线l的普通方程，由点P在圆C的外部，得||PA|-|PB||即弦AB的长，由此能求出||PA|-|PB||．

解答 解：（1）∵圆C的极坐标方程是ρ=4cos（θ-$\frac{π}{2}$）=4sinθ，即ρ²=4ρsinθ，
∴圆C的直角坐标方程为x²+y²=4y，
即x²+（y-2）²=4．
（2）∵直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1-t}\\{y=3+2t}\end{array}\right.$（t是参数），
∴消去参数t，得直线l的普通方程为2x+y-5=0，
则点P在圆C的外部，∴||PA|-|PB||即弦AB的长，
又圆心C（0，2）到直线l的距离为d=$\frac{|0+2-5|}{\sqrt{4+1}}$=$\frac{3}{\sqrt{5}}$，
∴|AB|=2$\sqrt{4-（\frac{3}{\sqrt{5}}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{55}}{5}$，
∴||PA|-|PB||=$\frac{2\sqrt{55}}{5}$．

点评 本题考查圆的直角坐标方程的求法，考查线段之差绝对值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．