Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2

2

，∠PAB=60°．
（Ⅰ）证明AD⊥平面PAB；
（Ⅱ）求异面直线PC与AD所成的角的大小；
（Ⅲ）求二面角P-BD-A的大小．

Answer 1

分析：（I）由题意在△PAD中，利用所给的线段长度计算出AD⊥PA，在利用矩形ABCD及线面垂直的判定定理及、此问得证；
（II）利用条件借助图形，利用异面直线所称角的定义找到共面得两相交线，并在三角形中解出即可；
（III）由题中的条件及三垂线定理找到二面角的平面角，然后再在三角形中解出角的大小即可．

解答：解：（Ⅰ）证明：在△PAD中，由题设PA=2，PD=2

2

，
可得PA²+AD²=PD²于是AD⊥PA．
在矩形ABCD中，AD⊥AB．又PA∩AB=A，
所以AD⊥平面PAB．

（Ⅱ）解：由题设，BC∥AD，
所以∠PCB（或其补角）是异面直线PC与AD所成的角．
在△PAB中，由余弦定理得
PB=

PA2+AB2-2PA•AB•cosPAB

=

7

由（Ⅰ）知AD⊥平面PAB，PB?平面PAB，
所以AD⊥PB，因而BC⊥PB，于是△PBC是直角三角形，故tanPCB=

PB

BC

=

7

2

．
所以异面直线PC与AD所成的角的大小为arctan

7

2

．

（Ⅲ）解：过点P做PH⊥AB于H，过点H做HE⊥BD于E，连接PE
因为AD⊥平面PAB，PH?平面PAB，所以AD⊥PH．又AD∩AB=A，
因而PH⊥平面ABCD，故HE为PE再平面ABCD内的射影．
由三垂线定理可知，BD⊥PE，从而∠PEH是二面角P-BD-A的平面角．
由题设可得，
PH=PA•sin60°=

3

，AH=PA•cos60°=1，
BH=AB-AH=2，BD=

AB2+AD2

=

13

，
HE=

AD

BD

•BH=

4

13

于是再RT△PHE中，tanPEH=

39

4

所以二面角P-BD-A的大小为arctan

39

4

．

点评：本小题主要考查直线和平面垂直，异面直线所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力，还考查了利用反三角函数的知识求出角的大小．