Question

【题目】设锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a、b、c，且sinA-cosC=cos（A-B）．

（1）求B的大小；

（2）求cosA+sinC的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）； （2）（，）.

【解析】

（1）利用诱导公式，两角和差的三角公式，化简所给的式子，求得sinB的值，可得B的值．

（2）化简要求的式子sin（A），根据A∈（，），利用正弦函数的定义域和值域，求得cosA+sinC的取值范围．

（1）设锐角三角形中，sinA-cosC=cos（A-B），即sinA+cos（A+B）=cos（A-B），

即sinA+cosAcosB-sinAsinB=cosAcosB+sinAsinB，

即sinA=2sinAsinB，,∴sinB=，锐角三角形中B=．

（2）cosA+sinC=cosA+sin（π-A-B）=cosA+sin（-A）

=cosA+sin（+A）=cosA+cosA+sinA=sin（A+）．

∵B=，∴A∈（，），A+∈（，），

∴sin（A+）∈（，），∴sin（A+）∈（，），

即cosA+sinC的取值范围为（，）．