Question

若实数x、y、m满足|x-m|＞|y-m|，则称x比y远离m，
(Ⅰ)若x²-1比1远离0，求x的取值范围；
(Ⅱ)对任意两个不相等的正数a、b，证明：a³+b³比a²b+ab²远离2ab；
(Ⅲ)已知函数f(x)的定义域D={x|x≠，k∈Z，x∈R}，任取x∈D，f(x)等于sinx和cosx中远离0的那个值．写出函数f(x)的解析式，并指出它的基本性质(结论不要求证明)．

Answer 1

(Ⅰ)解：由题意得|x²-1|＞1，x²-1＜-1或x²-1＞1，即x²＜0或x²＞2，
∴x的取值范围是(-∞，-)∪(，+∞)。
(Ⅱ)证明：当a、b是不相等的正数时，
，
又，
则，
于是，
∴a³+b³比a²b+ab²远离。
(Ⅲ)解：若|sinx|＞|cosx| ，即sin²x＞cos²x，cos2x＜0，
；
同理，若|cosx|＞|sinx|，则，
于是，函数f(x)的解析式是，
函数f(x)的大致图象如下：

函数f(x)的最小正周期T=2π，函数f(x)是非奇非偶函数；
当x=2kπ或时，函数f(x)取得最大值1；
当x=2kπ+π或时，函数f(x)取得最小值-1；
函数f(x)在区间上单调递增；
在区间
上单调递减。