Question

如图，在四面体ABCD中，平面EFGH分别平行于棱CD、AB，E、F、G、H分别在BD、BC、AC、AD上，且CD=a，AB=b，CD⊥AB．
（1）求证：四边形EFGH是矩形．
（2）设

DE

DB

=λ(0＜λ＜1)，问λ为何值时，四边形EFGH的面积最大？

Answer 1

分析：（1）根据平行线的性质证明四边形EFGH是矩形．
（2）根据边长关系，建立函数关系，然后求四边形EFGH的面积．

解答：解：（1）证明：∵CD∥面EFGH，CD?平面BCD，
而平面EFGH∩平面BCD=EF．∴CD∥EF同理HG∥CD．∴EF∥HG
同理HE∥GF．∴四边形EFGH为平行四边形…（3分）
由CD∥EF，HE∥AB∴∠HEF（或其补角）为CD和AB所成的角，
又∵CD⊥AB．∴HE⊥EF．∴四边形EFGH为矩形．…..（6分）
（2）解：由（1）可知在△ABD中EH∥AB，∴

DE

DB

=

EH

AB

=λ，所以EH=λb，
在△BCD中EF∥CD，∴

BE

BD

=

EF

CD

=1-λ，所以EF=a（1-λ）  …（8分）
又EFGH是矩形，故四边形EFGH的面积S=a（1-λ）•λb≤ab(

λ+1-λ

2

)2=

1

4

ab，当且仅当λ=1-λ，
即λ=

1

2

时等号成立，即E为BD的中点时，矩形EFGH的面积最大为

1

4

ab…．（12分）

点评：本题主要考查空间直线和平面位置关系的判断和应用，考查学生的运算和推理能力．