Question

15．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$（2^x+2^-x）；
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）判断并证明函数的单调性．

Answer 1

分析 （1）利用指数函数，可得函数的定义域；
（2）利用函数的奇偶性的定义，可得结论；
（3）利用导数的正负，即可判断并证明函数的单调性．

解答 解：（1）函数的定义域为R；
（2）f（-x）=$\frac{1}{2}$（2^-x+2^x）=f（x），∴函数是偶函数；
（3）∵f（x）=$\frac{1}{2}$（2^x+2^-x），
∴f′（x）=$\frac{1}{2}$（2^x-2^-x）•ln2
∴x＞0，f′（x）＞0；x＜0，f′（x）＜0．
∴函数在[0，+∞）上单调递增，在（-∞，0）上单调递减．

点评 本题考查函数的单调性、奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．