Question

周长为定值的扇形OAB，当其面积最大时，向其内任意掷一点，则点落在△OAB内的概率是

1

2

sin2

．

Answer 1

分析：利用弧度制下的扇形面积公式求出圆心角大小，再利用几何概型求出概率．

解答：解：设扇形周长为m，半径为r，则弧长l=m-2r．扇形的面积是

1

2

×rl=

1

2

×r（m-2r）≤

1

4

•(

2r+m-2r

2

)2=

m2

16

，当且仅当r=

m

4

时等号取到．
此时扇形的弧长为

m

2

，故此时扇形的圆心角为

l

r

=2弧度．则点落在△OAB内的概率是

1 2 r2sin2

1 2 ×2×r2

=

1

2

sin2
故答案为：

1

2

sin2．

点评：本题考查了弧度制下的扇形面积公式，基本不等式的应用，几何概型求解．是一道好题．