Question

已知双曲线x²-y²=2的左、右焦点分别为F₁，F₂，过点F₂的动直线与双曲线相交于A，B两点．
（I）若动点M满足

F1M

=

F1A

+

F1B

+

F1O

（其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程；
（II）在x轴上是否存在定点C，使

CA

•

CB

为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

由条件知F₁（-2，0），F₂（2，0），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
（I）设M（x，y），则

F1M

=(x+2，y)，

F1A

=(x1+2，y1)，

F1B

=(x2+2，y2)，

F1O

=(2，0)，
由

F1M

=

F1A

+

F1B

+

F1O

，得

x+2=x1+x2+6 y=y1+y2

，即

x1+x2=x-4 y1+y2=y

，
于是AB的中点坐标为(

x-4

2

，

y

2

)，
当AB不与x轴垂直时，

y1-y2

x1-x2

=

y 2

x-4 2 -2

=

y

x-8

，即y1-y2=

y

x-8

(x1-x2)，
又因为A，B两点在双曲线上，所以x₁²-y₁²=2，x₂²-y₂²=2，
两式相减得（x₁-x₂）（x₁+x₂）=（y₁-y₂）（y₁+y₂），即（x₁-x₂）（x-4）=（y₁-y₂）y，
将y1-y2=

y

x-8

(x1-x2)代入上式，化简得（x-6）²-y²=4，
当AB与x轴垂直时，x₁=x₂=2，求得M（8，0），也满足上述方程，
所以点M的轨迹方程是（x-6）²-y²=4．

（II）假设在x轴上存在定点C（m，0），使

CA

•

CB

为常数，
当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y=k（x-2）（k≠±1），
代入x²-y²=2有（1-k²）x²+4k²x-（4k²+2）=0
则x₁，x₂是上述方程的两个实根，所以x1+x2=

4k2

k2-1

，x1x2=

4k2+2

k2-1

，
于是

CA

•

CB

=(x1-m)(x2-m)+k2(x1-2)(x2-2)
=（k²+1）x₁x₂-（2k²+m）（x₁+x₂）+4k²+m²
=

(k2+1)(4k2+2)

k2-1

-

4k2(2k2+m)

k2-1

+4k2+m2
=

2(1-2m)k2+2

k2-1

+m2
=2(1-2m)+

4-4m

k2-1

+m2．
因为

CA

•

CB

是与k无关的常数，所以4-4m=0，即m=1，此时

CA

•

CB

=-1，
当AB与x轴垂直时，点A，B的坐标可分别设为(2，

2

)，(2，-

2

)，
此时

CA

•

CB

=(1，

2

)•(1，-

2

)=-1，
故在x轴上存在定点C（1，0），使

CA

•

CB

为常数．