Question

已知函数y＝log₂(n∈N*)．

(1)当n＝1，2，3，…时，把已知函数的图象和直线y＝1的交点的横坐标依次记为a₁，a₂，a₃，……，求证a₁＋a₂＋a₃＋…＋a_n＜1；

(2)对于每一个n的值，设A_n、B_n为已知函数的图象上与x轴距离为1的两点，求证：n取任意一个正整数时，以A_nB_n为直径的圆都与一条定直线相切，并求出这条定直线的方程和切点的坐标．

Answer 1

答案：
解析：

解答　　原函数可化为：y＝x 　　(1)y＝1时，可求得x＝()n， 　　即an＝()n＝()()n－1， 　　∴{an}是以为首项，为公比的等比数列． 　　a1＋a2＋a3＋…＋an＝＝1－＜1 　　(2)同理可以求An、Bn的横坐标，可得An、Bn的坐标分别为(，1)，和(2n，－1)，因此|AnBn|＝＝2n＋，因此AnBn中点C到y轴距离＝． 　　∴以C为圆心AnBn为直径的圆必定与定直线y轴相切，这条定直线的方程为x＝0，点C的纵坐标为0，可知从点C到y轴作垂线的垂足就是原点即切点，所以切点坐标为(0，0)．