Question

10．如图，在二面角α-l-β的棱l上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，若二面角α-l-β的大小为$\frac{π}{3}$，AB=AC=2，CD=$\sqrt{11}$，则BD=3．

Answer 1

分析 由题设条件知 ${\overrightarrow{CD}}^{2}$=（$\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$）²，由此利用向量法能求出CD的长．

解答 解：∵在一个60°的二面角的棱上，有两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，AB=AC=2，CD=$\sqrt{11}$，
 ${\overrightarrow{CD}}^{2}$=（$\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$）²=${\overrightarrow{CA}}^{2}$+${\overrightarrow{AB}}^{2}$+${\overrightarrow{BD}}^{2}$$+2\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}$+$2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BD}$$+2\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{BD}$
11=4+4+${\overrightarrow{BD}}^{2}$+0+0-2×$2×\left|\overrightarrow{BD}\right|×\frac{1}{2}$，
${\overrightarrow{BD}}^{2}$-$2\left|\overrightarrow{BD}\right|$-3=0，
解得$\left|\overrightarrow{BD}\right|$=3．
故答案为：3．

点评 本题考查线段长的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，注意向量法的合理运用．