Question

【题目】Sn为数列{an}的前n项和，已知Sn+1=λSn+1（λ是大于0的常数），且a1=1，a3=4．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=nan ， 求数列{bn}的前n项和．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由Sn+1=λSn+1可知 当n≥2时，Sn=λSn﹣1+1． 作差可得an+1=λan ， 即n≥2时 ．
又a1=1，故a2=λa1 ．
∴数列{an}是等比数列．
由于a3=a1λ2=4，λ＞0，解得λ=2．
数{an}的通项公式为： ；
（Ⅱ）由 ，可知 ．
设数列{bn}前n项和为Tn ，
则 ，①
，②
① ﹣②得： = =2n﹣1﹣n2n ．
∴ ．
【解析】（Ⅰ）由已知数列递推式可得当n≥2时，Sn=λSn﹣1+1．与原递推式作差可得an+1=λan ， 即n≥2时 ．验证a2=λa1 ， 可得数列{an}是等比数列．结合已知求得λ值，则数列{an}的通项公式可求；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的通项公式代入bn=nan ， 整理后利用错位相减法求数列{bn}的前n项和．
【考点精析】掌握数列的前n项和和数列的通项公式是解答本题的根本，需要知道数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．