Question

（1）已知n∈N^*,求证：1+2+2²+2³+…+2^5n-1能被31整除；
（2）求0.998⁶的近似值，使误差小于0.001.

Answer 1

(1) 证明略(2) 0.998⁶≈1-0.012=0.988

（1）证明 ∵1+2+2²+2³+…+2^5n-1
==2⁵ⁿ-1=32ⁿ-1                                                    3分
=（31+1）ⁿ-1
=31ⁿ+C·31^n-1+C·31^n-2+…+C·31+1-1
=31（31^n-1+C·31^n-2+…+C）                                              6分
显然括号内的数为正整数，
故原式能被31整除.                                                        7分
（2）解 ∵0.998⁶=（1-0.002）⁶
=1-C（0.002）+C（0.002）²-C（0.002）³+…                                   10分
第三项T₃=15×(0.002)²="0.000" 06＜0.001,以后各项更小,∴0.998⁶≈1-0.012="0.988.       " 14分