Question

(20)设f(x)=3ax²+2bx+c，若a+b+c=0，f(0)f(1)＞0，求证：

    (Ⅰ)方程f(x)=0有实根；

    (Ⅱ)-2＜＜-1；

    (Ⅲ)设x₁，x₂是方程f(x)=0的两个实根，则≤|x₁-x₂|＜．

Answer 1

本题主要考查二次函数的基本性质、不等式的基本性质与解法，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力。  

证明：（Ⅰ）若a=0，则b=-c.

f（0）f（1）=c（3a+2b+c）

=-c²

≤0，

与已知矛盾，

所以a≠0.

方程3ax²+2bx+c=0的判别式

Δ=4（b²-3ac）,

由条件a+b+c=0，消去b，得

  Δ=4（a²+c²-ac）

    =4［（a-c）²+c²］

    ＞0,

故方程f（x）=0有实根.

(Ⅱ)由f（0）f（1）＞0，得

c（3a+2b+c）＞0，

   由条件a+b+c=0，消去c，得

（a+b）（2a+b）＜0.

   因为a²＞0，

   所以（1+）（2+）＜0，

    故-2＜＜-1.

(Ⅲ)由条件，知

x₁+x₂=-

          所以（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂

                =.

    因为-2＜＜-1，

    所以≤（x₁-x₂）²＜.

    故≤|x₁-x₂|＜.